Деление

Как объяснить деление дошкольнику

Малыши-дошколята вовлекаются в процесс деления с самого раннего возраста, например, когда угощают конфетами друзей, делятся игрушками в песочнице. Поэтому задача родителей заключается в том, чтобы обобщить этот детский опыт для освоения азов арифметики, дать понимание принципа деления, то есть разделения предметов на равные доли. При этом базовыми знаниями, необходимыми для освоения деления в дошкольном возрасте, является понимание, что такое целое, больше/меньше. Если с этими понятиями ребёнок знаком, то можно вооружаться играми и на их основе поэтапно объяснять деление.

Делим поровну

Для начала нужно показать малышу на доступном для его понимания уровне, что такое деление, используя наглядность. В этом поможет игра «Тебе и мне поровну».

Материалы для тренировки арифметических действий должны быть вкусными

Инструкция:

1. Малыш получает 6 конфет.
2. Взрослый просит поделить конфеты на двоих так, чтобы у каждого было одинаковое количество.
3. Ребёнок раскладывает конфеты по одной, пересчитывая их в обеих кучках.
4. После того, как конфеты поделены, юный математик ещё раз пересчитывает их в каждой кучке, а затем считает, сколько сладостей всего.
5. Количество «делителей» можно увеличивать, но «делимое» всегда должно делиться без остатка. Так у ребёнка формируется представление о том, что такое поровну.

Деление с остатком

Освоив деление без остатка, можно переходить к следующему этапу — игре «Всем поровну и «хвостик».

Оставшееся яблоко можно отдать взрослому или игрушке, а потому сравнить, у кого больше/меньше

Инструкция:

1. Ребёнок получает 4 яблока.
2. Взрослый просит разделить их поровну между тремя членами семьи.
3. Оставшееся яблоко является остатком, который получается тогда, когда поровну поделить нельзя.

Разобравшись с делением поровну и с остатком, можно переходить к освоению абстрактного деления, то есть вычислениям с использованием цифр, а не конфет-яблок-игрушек. Для этого нужно сказать, что первое число — это то, что мы делим: конфеты, игрушки, яблоки, а второе — участники этого деления, то есть члены семьи, друзья. Но главное здесь, сколько предметов в итоге будет у участников.

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 58. Вариант 1. № 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 75,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 78,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 57,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 65,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 66,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

3 класс

Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 36,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 55,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 30. Вариант 1. № 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 23,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 49,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 84,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 102,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

4 класс

Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 11,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 69,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 95,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 8,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 49,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

5 класс

Задание 441,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 673,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 818,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 36,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 520,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 656,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 657,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 673,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1050,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Выполнение деления с остатком с помощью числового луча

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

10 : 3

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что по три деления оказалось три раза и одно деление осталось (рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

10 : 3 = 3 (ост.1)

Выполним деление.

11 : 3

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что по три деления оказалось три раза и два деления осталось (рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

11 : 3 = 3 (ост.2)

Выполним деление.

12 : 3

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что получили ровно 4 раза, остаток отсутствует (рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

12 : 3 = 4

Сегодня на уроке мы познакомились с делением с остатком, научились выполнять названное действие с помощью рисунка и числового луча, потренировались в решении примеров по теме урока.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. М.: Просвещение, 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. М.: Просвещение, 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. М.: Просвещение, 2011.
5. Школа России: Программы для начальной школы. М.: Просвещение, 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. М.: Экзамен, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Prosv.ru (Источник).
3. Do.gendocs.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Выпиши числа, которые делятся на 2 без остатка.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Выполни деление с остатком с помощью рисунка.

13 : 4

17 : 5

19 : 6

24 : 7

86 : 9

3. Выполни деление с остатком с помощью числового луча.

9 : 2

8 : 3

13 : 4

12 : 5

14 : 6

4. Составь задание для своих товарищей по теме урока.

4 способа разбить ячейки на части в программе Microsoft Excel

​ Поставили «пробел», потому​ по словам в​ в центре -​ то (если выделена​ скобки. А в​ последнем аргументе функция​ вдоль целого столбца:​ были импортированные данные​ В некоторых случаях выделение​ этого также можно​ блоке​«Надпись»​ разделить. Опять жмем​«Шрифт»​

Разделение ячеек

​ если вы делите​ что в нашем​ несколько других ячеек,​ F5 — Выделить​ ячейка А3) -​ третьем аргументе эта​ вычисляет какое количество​Выборка чисел из строк​ из другой программы.​ одной ячейки может​ использовать SHIFT+клавиши со​«Линии»​кликаем на одну​ на стрелку около​жмем на иконку​ делится на два​ нули. Как их​ столбец на дни​

Способ 1: объединение ячеек

​ списке имя и​ ФИО, дату, т.д.​ — Пустые ячейки​ Меню — Данные​

1. ​ же функция вычисляет​ символов будет содержать​
2. ​ в отдельные ячейки.​ Из-за несовместимости структуры​ привести к выбору​ стрелками.​, кликаем по самой​ из двух кнопок,​​ кнопки​​«Границы»​ подраздела? В этом​​ убрать, скрыть, заменить,​​ и месяцы, год,​​ фамилия написаны через​Например, у нас​​Далее жмем кнопку​
3. ​ — Текст по​ положение нужного нам​ разделенная строка после​​ данных при импорте​ нескольких смежных ячеек.​Чтобы выделить несмежные ячейки​ первой фигуре.​​ на которых изображена​​«Объединить и поместить в​​. В появившемся списке​​ случае, можно применить​​ читайте в статье​​ то можно указать​ пробел. Если бы​ есть список с​

​ = (равно) и​ столбцам — с​ текста в строке​ разделения, учитывая положение​Функция ПСТР возвращает текстовое​ некоторые значение из​

​ Советы о том,​ и диапазоны ячеек,​

Способ 2: разделение объединенных ячеек

​Проводим линию от угла​ косая линия, наклоненная​ центре»​ выбираем пункт «Все​ небольшие хитрости.​ «Как убрать нули​ «Формат данных столбца»​ имя и фамилия​ фамилиями, именами в​ стрелку вверх.​

​ разделителем — разделитель​ относительно второй открывающийся​ квадратной скобки.​​ значение содержащие определенное​ разных категорий были​​ как устранить эту​ выберите их, удерживая​​ к углу ячейки​​ справа налево, или​

​. На этот раз​ границы».​Для того, чтобы определенные​ в Excel».​ — «дата».​​ (др. слова) были​ одном столбце. Нам​​Затем одновременно Контрл​ пробел — ОК.​​ квадратной скобки

Вычисление​​Обратите внимание! Что в​

​ количество символов в​ внесены в одну​ проблему, см. в​ нажатой клавишу CTRL.​ в том, направлении,​ слева направо. Выбираем​

Способ 3: разделение по диагонали путем форматирования

​ выбираем пункт​Как видим, несмотря на​ ячейки казались разделенными,​

1. ​При работе с таблицами​Нажимаем кнопку «Готово».​ написаны через запятую,​ нужно написать фамилии​ Ентер​​ Имя будет в​​ в третьем аргументе​ нашем примере все​ строке. Аргументы функции:​​ ячейку. Необходимо из​​ публикации сообщества под​

2. ​Выберите букву в верхней​ которое вам требуется.​ нужный вариант. Тут​​«Отменить объединение»​​ то, что мы​

3. ​ следует объединить другие​​ Excel иногда нужно​​ Получилось так.​ то мы бы​ в одном столбце,​Затем снова выделяем​ В3, а Отчество​ более сложное и​ исходные и разделенные​Первый аргумент – это​ этой ячейки отделить​ названием Как предотвратить​ части столбца, чтобы​Как видим, несмотря на​

​ же можно выбрать​.​ ничего не делили,​ ячейки таблицы.​ разбить определенную ячейку​Так можно разделить текст​ указали разделителем «запятая».​

Способ 4: разделение по диагонали через вставку фигуры

​ а имена в​ весь диапазон, копируем​ — в С3.​ оно подразумевает вычитание​ строки имеют разную​ ссылка на ячейку​ целые числовые значения.​

1. ​ одновременное выделение нескольких​​ выделить его целиком.​​ то, что в​ тип и цвет​Таким образом, мы получили​​ а наоборот соединяли,​​Нужно хорошо продумать всю​

2. ​ на две части.​ из одной ячейки​​В этом окне, в​​ другом столбце. Например,​ и спецвставкой вставляем​

3. ​Если выделить много​ одной большей длинны​ длину и разное​ с исходным текстом.​

​ Пример таких неправильно​ ячеек в Excel?.​ Можно также щелкнуть​ программе Microsoft Excel​ линии. Когда выбор​ разделенную ячейку. Но,​ создается иллюзия разделенной​ структуру будущей таблицы.​ Но, это не​

​ на большее количество​

lumpics.ru>

Деление многочлена на многочлен с остатком

Как и при делении обычных чисел, при делении многочлена на многочлен может образоваться остаток от деления.

Для начала вспомним деление обычных чисел с остатком. Например, разделим уголком 15 на 2. С остатком это деление будет выполнено так:

То есть при делении 15 на 2 получается 7 целых и 1 в остатке. Ответ записывается следующим образом:

Рациональное число читается как семь целых плюс одна вторая. Знак «плюс» по традиции не записывают. Но если при делении многочлена на многочлен образуется остаток, то этот плюс записывать нужно.

Например, если при делении многочлена a на многочлен b получится частное c, да еще останется остаток q, то ответ будет записан так:

Например, разделим многочлен 2×3 − x2 − 5x + 4 на многочлен x − 3

Найдем первый член частного. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 2×2. Записываем 2×2 в частном:

Умножим 2×2 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым:

Вычтем из делимого полученный многочлен 2×3 − 6×2

Теперь делим 5×2 − 5x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 5x. Записываем 5x в частном:

Умножим 5x на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 5×2 − 5x + 4

Вычтем из многочлена 5×2 − 5x + 4 многочлен 5×2 − 15x

Теперь делим 10x + 4 на делитель x − 3. Разделим первый член делимого на первый член делителя, получим 10. Записываем 10 в частном:

Умножим 10 на делитель x − 3 и полученный результат запишем под делимым 10x + 4. Сразу вычтем этот полученный результат из делимого 10x + 4

Число 34, полученное в результате вычитания многочлена 10x − 30 из многочлена 10x + 4, является остатком. Мы не сможем найти следующий член частного, который при умножении с делителем x − 3 дал бы нам в результате 34.

Поэтому при делении многочлена 2×3 − 2×2 − 5x + 4 на многочлен x − 3 получается 2×2 + 5x + 10 и 34 в остатке. Ответ записывается таким же образом, как и при делении обычных чисел. Сначала записывается целая часть (она располагается под правым углом) плюс остаток, разделенный на делитель:

Начальное обучение делению

Чем раньше родители объяснят ребенку принципы деления с остатком или без него тем лучше он их усвоит. А чтобы процесс прошел легко, нужно это сделать в форме игры. Например, дать шесть конфет и попросить их поделить поровну между куклой, киской и папой. А теперь – между мамой и бабушкой. Естественно, у ребенка получатся разные результаты

Важно объяснить, почему так получилось.
Следует учесть, что для обучения лучше использовать бытовые, знакомые малышу предметы: игры со счетными палочками или бумажными квадратиками вряд ли будут ему интересны.
Следующим шагом можно попробовать объяснить деление с остатком – принцип тот же: игра. Пусть кроха попробует пятью орехами угостить Мишу и Свету

Он отдаст каждому по 2 орешка, а оставшийся сможет съесть сам.
Теперь ребенок сможет понять сам принцип деления: большее число делится на меньшее. Конечно, взрослые-то знают, что так происходит не всегда, но для ребенка в возрасте от 5 до 8 лет этой информации будет достаточно.

Как объяснить деление дошкольнику

Малыши-дошколята вовлекаются в процесс деления с самого раннего возраста, например, когда угощают конфетами друзей, делятся игрушками в песочнице. Поэтому задача родителей заключается в том, чтобы обобщить этот детский опыт для освоения азов арифметики, дать понимание принципа деления, то есть разделения предметов на равные доли. При этом базовыми знаниями, необходимыми для освоения деления в дошкольном возрасте, является понимание, что такое целое, больше/меньше. Если с этими понятиями ребёнок знаком, то можно вооружаться играми и на их основе поэтапно объяснять деление.

Делим поровну

Для начала нужно показать малышу на доступном для его понимания уровне, что такое деление, используя наглядность. В этом поможет игра Тебе и мне поровну.

Инструкция:

1. Малыш получает 6 конфет.
2. Взрослый просит поделить конфеты на двоих так, чтобы у каждого было одинаковое количество.
3. Ребёнок раскладывает конфеты по одной, пересчитывая их в обеих кучках.
4. После того, как конфеты поделены, юный математик ещё раз пересчитывает их в каждой кучке, а затем считает, сколько сладостей всего.
5. Количество делителей можно увеличивать, но делимое всегда должно делиться без остатка. Так у ребёнка формируется представление о том, что такое поровну.

Деление с остатком

Освоив деление без остатка, можно переходить к следующему этапу игре Всем поровну и хвостик.

Инструкция:

1. Ребёнок получает 4 яблока.
2. Взрослый просит разделить их поровну между тремя членами семьи.
3. Оставшееся яблоко является остатком, который получается тогда, когда поровну поделить нельзя.

Разобравшись с делением поровну и с остатком, можно переходить к освоению абстрактного деления, то есть вычислениям с использованием цифр, а не конфет-яблок-игрушек. Для этого нужно сказать, что первое число это то, что мы делим: конфеты, игрушки, яблоки, а второе участники этого деления, то есть члены семьи, друзья. Но главное здесь, сколько предметов в итоге будет у участников.

Примечания и терминология

• Количество разделов. Жесткий диск можно разделить максимум на 4 основных раздела, или 3 основных и 1 расширенного раздела, который может содержать в себе несколько логических дисков. 
• Базовый диск — это физический диск, содержащий основные разделы, расширенные разделы или логические диски. Разделы и логические диски так же называют томами.
• Основной раздел — это первичный раздел, который можно создать на жестком диске. На данных разделах могут быть установлены операционные системы.
• Расширенный раздел является контейнером, который может содержать один или несколько логических дисков. Логические диски функционируют точно так же, как основные разделы, за исключением того, что они не могут быть использованы для запуска операционной системы, как, например, Windows.

Деление на смешанное число

Для деления смешанных чисел необходимо:

• представить числа в виде неправильных дробей
• разделить то, что получилось друг на друга.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Приходите практиковаться в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Что такое частное чисел (онлайн калькулятор на деление)

 Не знаю как вы, но я порой нет нет да и задаюсь вопросом, –  что такое частное чисел? …

вот в голове очень хорошо уложилось что такое сумма (произведение), разность (вычитание), произведение (умножение), а вот деление никак не ассоциируется со словом частное! Ведь подобное слово в нашей жизни в большинстве случаев применяется для определения какой-либо особенности, то есть скажем частного из общего, но никак не в качестве слова поделить что-то на что-то.

 Ну да ладно, на вопрос о том, что такое частное можно сказать я уже ответил в своих рассуждениях! Сейчас осталось рассказать о частном из всех возможных простых математических операций, то есть о делении, однако уже в ключе математического мышления, с определением что такое частное и примерами деления для разных чисел.

Определение частного чисел (деление)

Частное чисел – это результат получаемый при определении количества содержания одного числа в другом. Проще говоря это обычное деление. При этом общепринятые оперируемые понятия для частного это делимое, делитель и само частное – результат.

Пример. Найти частное чисел:

1) 20:2=10;

2) 35:7=5.

Ответ: 20:2=10 и  35:7=5.

Это был самый простой пример. Все самое интересное впереди! Проблемы с делением начинаются тогда, когда числа становятся большими и выходят за рамки таблицы умножения. Здесь приходится делить большое число по определенному правилу. Такое деление еще называется деление в столбик. 

Пример. Найти частное чисел:

1) 894:3=298

-894| 3__ 6    |298-29

 27– 24

  24    0

Ответ: 894:3=298

Как делить столбиком (о правилах деления столбиком)

1 -При подсчете столбиком необходимо записать делимое слева, а делитель в Т – образной повернутой скобке, смотрите выше. Далее определим сколько знаков будет в частном. Если первое число делимого позволяет поделить на него делитель, то условно принимаем, что с этого числа и начнется исчисление частного.

Все остальные цифры делимого будут образовывать по одному знаку. То есть в нашем случае у частного – 8 есть возможность взять из него число 3, а значит она образует первый знак, а все остальные по 1 знаку, – всего 3! Если такой возможности нет, то постепенно слева направо добавляем по одной цифре, пока не сможем взять из набора этих цифр наш делитель.

Все остальные знаки дадут как и в описании выше по одному знаку.

2 – Дальше смотрим сколько в нашем первом выделенном числе можно взять делителей. При этом надо брать их максимальное количество в делимом. То есть в 8 это 2 раза по 3, а итого 6. Далее из выделенного числа в нашем случае 8 вычитаем максимально возможное количество делителей, в нашем случае 6 и получаем – 2. Записываем в Т- образную повернутую скобку цифру 2.

 А оставшийся остаток 29-27 образует следующую цифру для оперирования с ней по этому же правилу. То есть 2 и сносим 4. Получается 24.

Если вдруг получается так, что из оставшегося числа и снесенного сверху числа невозможно взять делитель ни разу, то в Т- образной повернутой скобке пишем 0 и сносим еще одну цифру, до тех пор пока не сможем взять из получившегося числа как минимум хотя бы 1 раз делитель.

4. Если в конце таких вычислений получается число которое невозможно поделить на делитель и сносить уже нечего, то это было деление с остатком. То есть оставшееся число или цифра, это остаток. Надо понимать, что остаток всегда должен быть меньше делителя. В этом вся соль остатка, он не позволяет взять из себя делитель даже одного раза!

Деление рациональных дробей

Для деления дробей используется следующее правило.

То есть если сказать без глубоких объяснений процессов происходящего, берем дробь, где в числителе произведение числителя делимого и знаменателя делителя, а в знаменателе этой дроби произведение знаменателя делимого и числителя делителя!

Что же, я думаю вы уже утомились воспринимать информацию и теперь вам лучше всего развеяться, поиграв с онлайн калькулятором на деление.

А и тут сразу же в голове всплыло еще одно правило, на ноль делить нельзя, так как даже в самом маленьком числе нулей великое множество, то есть бесконечность, а наш курс все же для школьников начальных и средних классов, где о бесконечности знают лишь то, что можно бесконечно играть в компьютер и не более:) А как на деление с нолем отреагирует калькулятор, можете проверить сами.

Побалуемся с делением!?

* -Infinity (бесконечность)

Отключение установленных расширений

В целом расширения схожи с плагинами по своей сути: они наделяют браузер дополнительными функциями. Примером тому могут служить утилиты для создания VPN-канала или блокировщики рекламы. Однако если плагин — это просто программный код или функция, то расширение можно считать за полноценную программу, так как им можно управлять при помощи интерфейса. Но история та же: эти программки могут замедлять браузер, потому неиспользуемые утилиты лучше отключать или удалять.

1. Открываем «Дополнения», как показано выше и переходим во вкладку «Расширения».
2. Находим неиспользуемые программы и нажимаем:
   • «Отключить» — для временной деактивации утилиты;

   • «Удалить» — для полной очистки браузера от расширения. Этот пункт деинсталлирует программу и её нельзя будет использовать в будущем, вплоть до повторной установки.

Другие случаи делимости на 2

В этом пункте мы хотим коснуться случаев, в которых целое число задано не непосредственно, а в виде некоторого значения , и нужно определить, делится ли данное число на 2 или нет. Обычно в этих случаях признак делимости на 2 не помогает, также не представляется возможным выполнить и непосредственное деление. Следовательно, нужно искать какие-то другие пути решения.

Один из подходов к решению таких задач подсказывает следующее свойство делимости: если хотя бы один из множителей в произведении целых чисел делится на данное число, то и все произведение делится на это число. Таким образом, если мы представим исходное буквенное выражение в виде произведения нескольких множителей, один из которых будет делиться на 2, то этим будет доказана делимость исходного числа 2.

Представить исходное выражение в виде произведения нескольких множителей иногда помогает формула бинома Ньютона. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения , вычисленное при некотором натуральном n, на 2?

Решение.

Очевидно равенство . Теперь воспользуемся формулой бинома Ньютона, после чего упростим полученное выражение:

В последнем выражении можно 2 вынести за скобки, в итоге имеем равенство . При любом натуральном n правая его часть делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, на 2 делится и левая часть равенства.

Ответ:

да, делится.

Во многих случаях для доказательства делимости на 2 используется метод математической индукции. Возьмем выражение из предыдущего примера и докажем методом математической индукции, что при любых натуральных n его значение делится на 2.

Пример.

Докажите, что значение выражения при любом натуральном n делится на 2.

Решение.

Воспользуемся методом математической индукции.

Во-первых, покажем, что значение выражения делится на 2 при n=1. Имеем , а 6 очевидно делится на 2.

Во-вторых, предположим, что значение выражения делится на 2 при n=k, то есть, — делится на 2.

В-третьих, исходя из того, что делится на 2, докажем, что значение выражения делится на 2 при n=k+1. То есть, докажем, что делится на 2, учитывая, что делится на 2.

Для этого выполним следующие преобразования: . Выражение делится на 2, так как делится на 2, выражение тоже делится на 2, так как содержит множитель 2, следовательно, в силу свойств делимости разность этих выражений тоже делится на 2.

Этим доказано, что при любом натуральном n значение выражения делится на 2.

Отдельно следует сказать о том, что если в произведении присутствуют два числа, которые идут друг за другом в , то такое произведение делится на 2. Например, произведение целых чисел вида (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) делится на 2 при любом натуральном n, так как оно содержит два подряд идущих числа из натурального ряда чисел (ими являются числа n+6 и n+7), а одно из них обязательно делится на 2 при любом натуральном n.

Аналогично, если в произведении присутствуют два множителя, между которыми находится четное число членов натурального ряда, то такое произведение делится на 2. Например, значение выражения (n+1)·(n+6) при любом натуральном n делится на 2, так как между натуральными числами n+1 и n+6 содержится четное количество чисел: n+2, n+3, n+4 и n+5.

Обобщим информацию двух предыдущих пунктов. Если показать, что значение некоторого выражения делится на 2 при n=2·m и при n=2·m+1, где m – произвольное целое число, то этим будет доказано, что исходное выражение делится на 2 при любых целых n.

Пример.

Докажите, что n3+7·n2+16·n+12 делится на 2 при любом натуральном n.

Решение.

Исходное выражение можно представить в виде произведения (n+2)2·(n+3) (при необходимости обращайтесь к материалу статьи разложение многочлена на множители). В этом произведение присутствуют множители n+2 и n+3, которые соответствуют двум идущим подряд числам из натурального ряда. При любом натуральном значении n одно из чисел n+2 или n+3 обязательно делится на 2, поэтому и произведение (n+2)2·(n+3) делится на 2, следовательно, и значение исходного выражения делится на 2.

Приведем более строгое доказательство.

При n=2·m имеем . Это выражение делится на 2, так как содержит множитель 4, который делится на 2.

При n=2·m+1 имеем . Полученное произведение делится на 2, так как содержит множитель 2.

Этим доказано, что n3+7·n2+16·n+12=(n+2)2·(n+3) делится на 2 при любом натуральном n.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Принцип деления для детей

Дальше приступают к формированию самого понимания, что деление это процесс разделения чего-нибудь на одинаковые части. Проще всего обучить ребенка такому математическому действию попросить разделить небольшое количество предметов между ним и членами семьи. Используя игровой подход, ему легче уловить суть самого процесса деления.

Так, например, просят разделить апельсин на дольки между ним и членами семьи, чтобы у всех было поровну. Сначала ребенок будет перекладывать по одной штучке. Потом нужно предложить ему подсчитать, сколько долек было изначально, и какое количество досталось каждому.

Надо показать ребенку, что уметь разделить предметы значит разложить их таким образом, чтобы все получили поровну независимо от количества участников. При этом объясняют, что не всегда их можно разделить на одинаковые части. Приводят пример. Если 10 яблок разделить между папой, мамой и бабушкой, то каждый получит по 3 штуки, а 1 останется.

После того, как ребенок усвоил саму суть принципа деления, надо начинать изучать математическую запись этой операции. Объясняют, что деление операция противоположная умножению. Демонстрируют это с помощью таблицы умножения.

Например, 3х2=6. Надо повторить, что произведение данных чисел равно результату умножения. Потом показать, что операция деления, противоположная умножению и все это показать ребенку. Делят наше произведение 6 на множитель 3, и в результате будет другой множитель.

Задача родителей объяснить юному дарованию таблицу умножения наизнанку

Очень важно, чтобы ребенок ее хорошо усвоил. Это знание будет просто необходимо для изучения деления в столбик

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление. В 5 классе ребята это уже знают.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дроби 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

1. При делении на единицу получится такое же число:

a : 1 = a.

2. На ноль делить нельзя.

3. Когда делим ноль на любое число, всегда получаем ноль:

0 : a = 0.

4. Когда делим любое число на само себя получаем единичку:

a : a = 1.

5. Когда делим сумму на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое, а потом сложить полученное:

(a + b) : c = a : c + b : c.

6. Когда делим разность на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе:

(a — b) : c = a : c — b : c.

7. Когда делим произведение двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель:

(a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Деление обыкновенных дробей

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий:

• числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Как делить дроби с разными знаменателями? Тут все просто: пользуемся правилами выше, поскольку на практике нам неважно, одинаковые знаменатели или нет

Деление дроби на натуральное число

Для деления дроби на натуральное число нужно:

• представить данный делитель в виде неправильной дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель единица;
• произвести деление по предыдущему правилу.

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно:

• знаменатель делителя умножить на число;
• числитель делителя записать в знаменатель.

Деление на смешанное число

Для деления смешанных чисел необходимо:

• представить числа в виде неправильных дробей
• разделить то, что получилось друг на друга.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Приходите практиковаться в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.