Натуральные числа

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, из множества деревьев, любое дерево — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

	3 предмета («три»)
	4 предмета («четыре»)
	5 предметов («пять»)
	6 предметов («шесть»)
	7 предметов («семь»)
	8 предметов («восемь»)
	9 предметов («девять»)

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «нуль». Напомним, что нуль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Нуль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот, как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 единиц, 0 десятков и 6 сотен.

Точно также определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Классы и разряды

Чтобы прочесть многозначное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры спра­ва ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, назы­вают разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в за­писи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Представленное на рисунке число читают так: 192 миллиарда 412 миллионов 163 тысячи 829. Записывают так: 192 412 163 829.

1) Если в числе отсутствуют единицы какого-либо разряда, то на месте этого разряда в записи числа ставят цифру 0. Например, 4 млрд 130 млн 150 тыс. 405 записывают так:

4 130 150 405

2) Если в числе отсутствуют единицы какого-либо класса, то в записи на месте этого класса будет три нуля. При чтении название этого класса не произносится. Например, число 5 000 430 800 читается так:

5 миллиардов 430 тысяч 800.

Число 30 000 014 читается так: 30 миллионов 14.

Любое число, имеющее разряды, можно разложить на сумму разрядных слагаемых.

Например:

3043 = 3 • 1000 + 0 • 100 + 4 • 10 + 3

43271 = 4 • 10000 + 3 • 1000 + 2 • 100 + 7 • 10 + 1

Разряды чисел.

Рассмотрим число 134. У каждой цифры этого числа есть свое место. Такие места, называются, разрядами.

Цифра 4 занимает место или разряд единиц. Так же цифру 4 можно назвать цифрой первого разряда.
Цифра 3 занимает место или разряд десятков. Или цифру 3 можно назвать цифрой второго разряда.
И цифра 1 занимает разряд сотен. По-другому, цифру 1 можно назвать цифрой третьего разряда. Цифра 1 является последней цифрой слава числа 134, поэтому цифру 1 можно назвать, цифрой высшего разряда. Цифра высшего разряда всегда больше 0.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда.  10 единиц образуют один разряд десяток, 10 десятков образуют один разряд сотен, десять сотен образуют разряд тысяч и т.д.
Если нет какого-то разряда, то вместо него будет стоять 0.

Например: число 208.
Цифра 8 – первый разряд единиц.
Цифра 0 – второй разряд десятков. 0 означает в математике ничего. Из записи следует, что десятков у данного числа нет.
Цифра 2 –  третий разряд сотен.

Такой разбор числа называется разрядным составом числа.

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот, какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Что точно не является натуральным числом:

• Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
• Отрицательные числа: −1, −2, −3, −4.
• Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Особенности натуральных чисел
Наименьшее натуральное число: единица (1). Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен. У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

• сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение: множитель * множитель = произведение;
• вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или нуль;
• деление с остатком: делимое / делитель = частное (остаток);
• возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart и попробуйте сами!

Задание 4

За­ме­ни­те сум­мой раз­ряд­ных сла­га­е­мых числа:

1903

1903: 1 тыс. 9 сот. 3 ед.

407 020

407 020: 4 сот. тыс. 0 дес. тыс. 7 ед. тыс. 0 сот. 2 дес. 0 ед.

300 206

300 206: 3 сот. тыс. 0 дес. тыс. 0 ед. тыс. 2 сот. 0 дес. 6 ед.

164 800

164 800: 1 сот. тыс. 6 дес. тыс. 4 ед. тыс. 8 сот. 0 дес. 0 ед.

За­ме­ча­ние: если в раз­ря­де стоит ноль, его можно не пи­сать, так как при при­бав­ле­нии нуля по­лу­ча­ет­ся то же число.

Если натуральное число состоит из одного знака – одной цифры, то его называют однозначным, например, числа 3, 5, 9 – однозначные.

сли число состоит из двух знаков – двух цифр, то его называют двузначным. Например, числа 10, 23, 75  — двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам. Например: 145, 809 – это трехзначные числа.

Существуют четырехзначные, пятизначные числа и так далее.

Двузначные, трехзначные и так далее числа называют многозначными.

Для чтения многозначное натуральное число разбивают справа налево на группы по три цифры в каждом (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами. Каждая из трех цифр класса обозначает разряд: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен.

Классификация начинается справа. Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идет класс миллионов, затем – миллиардов. (см. Рис.). Так как ряд натуральных чисел бесконечен, то за миллиардами идут триллионы, за триллионами — триллиарды и т.д.

Миллион – это тысяча тысяч, его записывают с помощью единицы и шести нулей.

Миллиард – это тысяча миллионов. Его записывают с помощью единицы и 9 нулей. 

Как же правильно прочитать многозначное число? Начинают читать многозначное число слева направо, по очереди называют число единиц каждого класса и добавляют название класса. При этом название класса единиц не называют, как и класса, в котором все три цифры — нули.

Например, вот это число (42 135 308) разбивают на классы так: оно имеет 308 единиц, 135 единиц в классе тысяч, 42 единицы в классе миллионов. Поэтому читают его так: 42 миллиона 135 тысяч 308.

Любое натуральное число можно представить в виде суммы разрядных единиц.

Например:

32 537 = 30 000 + 2 000 + 500 + 30 + 7

Таким образом, в этом уроке Вы познакомились с понятием натурального числа и натурального ряда, научились читать и классифицировать натуральные многозначные числа, а также раскладывать их по разрядам.

Источник конспекта:: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/4-klass/tema-3/chtenie-mnogoznachnyh-chisel?konspekt

http://znaika.ru/catalog/5-klass/matematika/Naturalnye-chisla.-Chtenie-i-zapis

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=frHwo0rvmvM

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

• сложение,
• вычитание,
• умножение,
• деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

• сумма — результат, получившийся при сложении чисел,
• разность — результат, получившийся при вычитании чисел,
• произведение — результат умножения чисел,
• частное — результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

• сумма — прибавить,
• разность — отнять,
• произведение — умножить,
• частное — разделить.

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

• Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
• Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
• Это вычитание одного числа из другого.
• Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
• Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
• Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
• Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
• Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

• Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
• Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

• Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
• Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 598,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 612,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 752,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1061,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1248,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1269,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1336,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1350,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1419,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 196,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 80,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 123,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 127,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 137,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 196,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 293,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 537,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 542,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 625,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 741,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Сумма разрядных слагаемых.

Любое натурально число имеющее различные разряды можно разложить на сумму разрядных слагаемых. Рассмотрим пример:
Число 4062 распишем на разряды.

4 тысяч 0 сотен 6 десятков 2 единиц или по-другому можно записать

4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2

Следующий пример:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0

Вопросы по теме:

Назовите первые четыре класса в записи натуральных чисел?
Ответ: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.

Как читают многозначные числа?
Ответ: многозначные числа читают слева направо. Разбивают число по 3 цифры с конца на классы, называют все цифры, кроме нуля. Цифра 0 в записи  числа означают отсутствие разряда.

Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?
Ответ: 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Что такое сумма разрядных слагаемых?
Ответ: Это разложение натурального числа на разряды и суммирование их.

Сколько десятков в сотне?
Ответ: в сотне 10 десятков.(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100)

Сколько сотен в тысячи?
Ответ: в тысячи 10 сотен. (100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=1000)

Сколько десятков в тысячи?
Ответ: в тысячи 100 десятков.

Сколько тысяч в миллионе?
Ответ: в миллионе 1000 тысяч.

Примеры на задачи.

Пример №1:
Запишите и прочитайте число: а) пятизначное б) шестизначное.
Ответ: а) 35 100 (тридцать пять тысяч сто) б) 803 273 (восемьсот три тысячи двести семьдесят три)

Пример №2:
Сколько натуральных чисел: а) однозначных б) двузначных?
Ответ: а) однозначных натуральных чисел 10 (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9), б) двузначных натуральных чисел 90 (10, 11, 12, …,99)

Пример №3:
В записи числа 10398 назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, …
Ответ: 8 – разряд единиц, 9 – разряд десятков, 3 – разряд сотен, 0 – разряд тысяч, 1 – разряд десятков тысяч.

Пример №4:
Напишите наименьшее трехзначное число и наибольшее пятизначное число.
Ответ: 100 и 99999.

Пример №5:
Запишите число 56976 в виде суммы разрядных слагаемых:
Ответ: 56976=50000+6000+900+70+6=5⋅10000+6⋅1000+9⋅100+7⋅10+6

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа на него самого	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 * 5 = 5 * 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий. Можно хоть так, хоть эдак: (6 * 7) * 8 = 6 * (7 * 8)
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 * (5 + 6) = 4*5 + 4*6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 * (4 — 5) = 3*4 — 3*5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9:3 + 8:3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 — 3) : 2 = 5:2 — 3:2.

Натуральные числа

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — это числа, которые используются при счёте. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …, 1 — самое маленькое число, а самого большого числа не существует. Число 0 (нуль) обозначает отсутствие предмета.  Нуль НЕ является натуральным числом.

Разряды и классы  натуральных чисел

Для записи чисел используется ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. В десятичной системе счисления пользуются единицами, десятками единиц, десятками десятков — сотнями и т. д. Каждая новая единица счёта больше предыдущей ровно в 10 раз:

Десятичная система счисления — позиционная. В этой системе счисления значение каждой цифры в записи числа зависит от её позиции (места).

Позиция (место) цифры в записи числа называется РАЗРЯДОМ. Самый младший разряд — ЕДИНИЦЫ. Затем следуют ДЕСЯТКИ, СОТНИ, ТЫСЯЧИ и т. д.

Каждые три разряда натуральных чисел образуют КЛАСС.

Плакат «Сделай уроки сам!» 3-4 класс  https://делайурокисам.рф

Основной вопрос, который родители часто задают: зачем ребенку эти знания? Ответ на этот вопрос очень простой — после изучения этого материала, дети переходят к таким темам как сложение и вычитание в столбик, где обязательно необходимо знать разряды числа, чтобы правильно вычислить примеры.

И если ребенок не освоит эту тему, тогда он не сможет правильно решать в столбик.

Сложение столбиком

    А) Складываем единицы: 4 + 3 = 7.           Записываем под единицами.      Б) Складываем десятки: 4 + 3 = 7.            Записываем под десятками.      В) Складываем сотни: 4 + 3 = 7.            Записываем под сотнями.                                                  Ответ: 777

Вычитание столбиком

        А) Вычитаем единицы: 9 – 3 = 6.               Записываем под единицами.         Б) Вычитаем десятки: 0 меньше,              чем 2, занимаем в сотнях (тысячах).

            10 – 2 = 8. Записываем под десятками.                                            В) Вычитаем сотни: 9 – 4 = 5.                                                 Записываем под сотнями.                                                 Ответ: 586

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

• Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

• Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

• Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

• Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

• При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
• Начать следует с умножения, далее – сложение.
• После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
• По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
• Завершающим этапом станет вычитание.

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9) 17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2) 24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий

Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

Числа от 1 до 100. Состав числа. Круглые числа

Предыдущее и последующее число

Предыдущее число — то число, которое при счете следует перед данным числом.

56 , 57

Последующее число — то число, которое при счете называют сразу после данного числа.

56, 57

Однозначные и двузначные числа

Вспомни, что каждая цифра в записи занимает определенное место.

Единицы стоят на первом месте справа.

Десятки стоят на втором месте справа.

Однозначные числа записываются ОДНОЙ цифрой: 5, 9, 2, 5.

Двузначные числа записываются ДВУМЯ цифрами: 54, 91, 42, 85.

Самое маленькое однозначное число — .

Самое большое однозначное число — 9.

Самое маленькое двузначное число — 10.

Самое большое двузначное число — 99.

Всего на рисунке 35 палочкек.

35 = 30 + 5

Состав числа 35 — 3 дес. 5 ед.

Красных палочек 12.

12 = 10 + 2

Состав числа 12 — 1 дес. 2 ед.

Синих палочек всего 23.

23 = 2 дес. 3 ед.

23 = 20 + 3

Состав числа 23 — 2 дес. 3 ед.

Теперь научимся представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Какие разряды выделяют в двузначных числах?

В двузначных числах выделяют разряд десятков и разряд единиц, то есть двузначное число можно представить следующим образом:

В числе 35 три десятка и 9 единиц:

Сравнение двузначных чисел

Числа 42 и 24 похожи тем, что в их записи использованы одинаковые цифры: цифра 4 и цифра 2. Но цифра 4 для числа 42 означает десятки, а для 24 — единицы, цифра 2 для числа 42 означает единицы, а для 24 — десятки.

1. Сравнение двузначных чисел всегда начинается с десятков.

2. Если количество десятков одинаково, тогда переходят к сравнению единиц.

Круглые числа

Числа, которые оканчиваются на 0, называются круглыми. — 60, 30, 20.

В разряде единиц у круглого числа — число 0. — 70, 90, 40.

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

1 дес. + 4 дес. = 5 дес.

5 дес. = 50, значит,

10 + 40 = 50

Десять любых предметов можно назвать – ОДИН ДЕСЯТОК.

Десятками можно считать:

— это 2 десятка — записываю так: 2 дес.

Действия с десятками и единицами

— это 31

Как решить пример 34 + 25?

34 — это 3 дес. и 4 ед.

25 — это 2 дес. и 5 ед.

3 дес. и 4 ед. + 2 дес. и 5 ед. = 5 дес. 9 ед.

Можно записать короче:

Число 34 представляю в виде суммы разрядных слагаемых: 30 и 4, число 25 тоже представляю как 20 и 5. Теперь начинаю вычислять:

Сначала складываю единицы:

Теперь складываю десятки:

Запись решения выглядит так:

34 + 25 = (30 + 20) + (4 + 5) = 50 + 9 = 59

Десятки складываются с десятками.

Единицы складываются с единицами.

Как решить пример 38 — 16?

Число 38 — можно представить как 3 дес. и 8 ед.

Число 16 — это 1 дес. 6 ед.

3 дес. 8 ед. — 1 дес. 6 ед. = 2 дес. 2 ед.

38 — 16 = (30 — 10) + (8 — 6) = 20 + 2 = 22

Можно рассуждать так:

Число 38 представим в виде суммы разрядных слагаемых 30 и 8, а число 16 представим так: 10 и 6. Удобно число 6 вычесть из числа 8, получим 2. Затем число 10 вычтем из числа 30, получим 20. Теперь 2 прибавим к числу 20. Получим 22.

38 — 16 = 22

Десятки вычитаются из десятков.

Единицы вычитаются из единиц.

Мы рассмотрели случаи устных вычислений с двузначными числами.

Познакомиться с письменными приема вычислений (сложением в столбик и вычитанием в столбик) можно в нашем справочнике.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:

Названия классов многозначных чисел справа налево:

• первый — класс единиц,
• второй — класс тысяч,
• третий — класс миллионов,
• четвёртый — класс миллиардов,
• пятый — класс триллионов,
• шестой — класс квадриллионов,
• седьмой — класс квинтиллионов,
• восьмой — класс секстиллионов.

Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число  148951784296,  выделим в нём классы:

148 951 784 296

и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.

Правило встречается в следующих упражнениях:

3 класс

Страница 64. Вариант 1. Проверочная работа 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 69. Вариант 2. Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 70. Вариант 1. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 71. Вариант 2. Тест 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 72. Вариант 1. Проверочная работа 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 69,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 70,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 104,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 39,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 44,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 19,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 24,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 27,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 59,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 3,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 27,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 5. Вариант 2. Проверочная работа,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 66,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 86,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

5 класс

Упражнение 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Правило встречается в следующих упражнениях:

4 класс

Страница 22,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 25,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 28,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 29,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 22,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 46,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 20. Вариант 1. Тест,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 95,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

5 класс

Упражнение 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 562,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 846,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 847,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 851,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 852,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 853,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 856,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 858,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 2

За­пи­ши­те циф­ра­ми числа:

1. Сто во­семь тысяч три­ста де­вять

2. Трид­цать тысяч семь­сот де­вять

3. Во­семь тысяч шесть­сот

Ре­ше­ние

Мно­го­знач­ные числа за­пи­сы­ва­ют по клас­сам, на­чи­ная с выс­ше­го. Чтобы за­пи­сать циф­ра­ми число, на­при­мер «сто во­семь тысяч три­ста де­вять», сна­ча­ла за­пи­сы­ва­ют, сколь­ко всего еди­ниц вто­ро­го, выс­ше­го, клас­са в числе – 108, потом за­пи­сы­ва­ют, сколь­ко всего еди­ниц пер­во­го клас­са в числе.

Для числа «трид­цать тысяч семь­сот семь­де­сят» за­пи­шем ко­ли­че­ство еди­ниц вто­ро­го выс­ше­го клас­са в числе, их трид­цать, и ко­ли­че­ство еди­ниц пер­во­го клас­са в числе, семь­сот семь­де­сят.

В числе «во­семь тысяч шесть­сот» 8 еди­ниц вто­ро­го клас­са и шесть­сот еди­ниц пер­во­го клас­са.

2 класс – класс тысяч	1 класс – класс еди­ниц
Сотни  тысяч	Де­сят­ки тысяч	Еди­ни­цы тысяч	Сотни	Де­сят­ки	Еди­ни­цы
1	8	3	9
	3	7	7
		8	6

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность чисел может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это неправильные примеры натуральных чисел, потому что нуль расположен слева. По правилам, так нельзя. Это и есть десятичная запись натурального числа.