Свойства вычитания

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра «Быстрый счет»

Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Игра «Математические матрицы»

«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей, которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».

Игра «Числовой охват»

Игра «числовой охват» нагрузит вашу память во время занятий с данным упражнением.

Суть игры – запомнить цифру, на запоминание которой отводится около трех секунд. Затем нужно ее воспроизвести. По мере прохождения этапов игры, количество цифр растет, начинаете с двух и далее.

Игра «Математические сравнения»

Прекрасная игра, с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?

Игра «Угадай операцию»

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Упрощение»

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Визуальная геометрия»

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра «Копилка»

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Деление с остатком

Не все­гда де­ле­ние од­но­го на­ту­раль­но­го числа на дру­гое воз­мож­но. Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер,

23 : 4 = 5 (ост. 3)

23 = 5 * 4 + 3

23 яв­ля­ет­ся де­ли­мым, 4 яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем, 5 яв­ля­ет­ся непол­ным част­ным и 3 – оста­ток. Оста­ток дол­жен быть все­гда мень­ше де­ли­те­ля. Чтобы найти де­ли­мое при де­ле­нии с остат­ком, нужно непол­ное част­ное умно­жить на де­ли­тель и к этому про­из­ве­де­нию при­ба­вить оста­ток. При­ме­ры: Ука­жи­те непол­ное част­ное, де­ли­тель и оста­ток:

1. 2053 = + 37.

2053 – де­ли­мое, 24 – непол­ное част­ное, 84 – де­ли­тель, 37 – оста­ток.

2. 2891 = 

2891 – де­ли­мое, 2 – непол­ное част­ное, 1000 – де­ли­тель, 891 – оста­ток. Если по­ме­нять мно­жи­те­ли ме­ста­ми, при­ме­нив пе­ре­ме­сти­тель­ное свой­ство умно­же­ния, то ка­за­лось бы, мы ни­че­го не из­ме­ни­ли. Но не может быть де­ли­тель, а он бы стал 2, быть мень­ше остат­ка. По­это­му за­пись «1000 + 891» не верна. Если бы мы ее встре­ти­ли, нам при­ш­лось бы, как раз на­о­бо­рот, при­ме­нить пе­ре­ме­сти­тель­ный закон умно­же­ния.

Если оста­ток равен нулю, то го­во­рят, что де­ли­мое де­лит­ся на де­ли­тель на­це­ло. И можно тогда пред­ста­вить про­из­ве­де­ние: де­ли­тель умно­жить на част­ное.

24 = 8 * 3

Вычитание смешанных чисел

Смешанное число — это целое число с дробной частью. То есть если числитель меньше знаменателя – то дробь меньше единицы, а если числитель больше знаменателя, то дробь больше единицы. Смешанное число — это дробь, которая больше единицы и у которой выделена целая часть, изобразим на примере:

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Чтобы произвести вычитание смешанных чисел, нужно:

1. Привести дроби к общему знаменателю.

2. Целую часть внести в числитель

3. Произвести вычисление

Урок вычитание

Вычитание – это арифметическое действие, в процессе которого ищется разность 2 чисел и ответов является третье.Формула сложения выражается так: a — b = c.

Примеры и задачи Вы сможете найти ниже.

При вычитании дробей следует помнить, что:

1. Вычитаются числители, а не знаменатели.

Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4. При складывании дробей, вычитаются только числители!

2. Чтобы осуществить вычитание, убедитесь, что знаменатели равны.

Попалась разность дробей, к примеру, 1/2 и 1/3, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 3/6 и 2/6. Складываем (3-2)/6 и получаем 1/6.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Вычитание 1 класс

Первый класс – начало пути, начало обучения и изучения основ, в том числе и вычитания. Обучение стоит вести в игровой форме. Всегда в первом классе вычисления начинают с простых примеров на яблоках, конфетах, грушах. Используется этот метод не зря, а потому что детям намного интереснее, когда с ними играют. И это не единственная причина. Яблоки, конфеты и тому подобное дети видели очень часто в свой жизни и имели дело с передачей и количеством, поэтому научить сложению таких вещей будет не сложно.

Задачи на вычитание первоклассникам можно придумать целую тучу, к примеру:

Задача 1. Утром, гуляя по лесу ежик нашел 4 грибочка, а вечером, когда пришел домой, ежик на ужин скушал 2 грибочка. Сколько грибочков осталось?

Задача 2. Маша пошла в магазин за хлебом. Мама дала маше 10 рублей, а хлеб стоит 7 рублей. Сколько Маша должна принести денег домой?

Задача 3. В магазине утром на прилавке находилось 7 килограмм сыра. До обеда посетители выкупили 5 килограмм. Сколько килограмм осталось?

Задача 4. Рома вынес во двор конфеты, который дал ему папа. У Ромы было 9 конфет, а своему другу Никите он дал 4. Сколько конфет осталось у Ромы?

Первоклассники в основном решают задачи, в которых ответом будет число от 1 до 10.

Вычитание 2 класс

Второй класс это уже выше первого, а соответственно и примеры для решения тоже. Итак, приступим:

Числовые задания:

Однозначные числа:

1. 10 — 5 =
2. 7 — 2 =
3. 8 — 6 =
4. 9 — 1 =
5. 9 — 3 — 4 =
6. 8 — 2 — 3 =
7. 9 — 9 — 0 =
8. 4 — 1 — 3 =

Двузначные числа:

1. 10 — 10 =
2. 17 — 12 =
3. 19 — 7 =
4. 15 — 8 =
5. 13 — 7 =
6. 64 — 37 =
7. 55 — 53 =
8. 43 — 12 =
9. 34 — 25 =
10. 51 — 17 — 18 =
11. 47 — 12 — 19 =
12. 31 — 19 — 2 =
13. 99 — 55 — 33 =

Текстовые задачи

Вычитание 3-4 класс

Суть вычитания в 3-4 классе – вычитание в столбик больших чисел.

Как вычитать в столбик? Рассмотрим на примере:

Рассмотрим пример 4312-901. Для начала запишем числа друг под другом, так чтобы из числа 901 единица была под 2, 0 под 1, 9 под 3.

Затем производим вычитание справа налево, то есть из числа 2 число 1. Получаем единицу:

Далее вычитаем из единицы ноль и получаем единицу:

Вычитая из тройки девять, нужно позаимствовать 1 десяток. То есть из 4 вычитаем 1 десяток. 10+3-9=4.

А так как у 4 заняли 1, то 4-1=3

Ответ: 3411.

Вычитание 5 класс

Пятый класс – это время для работы над сложными дробями с разными знаменателями. Повторим правила:1. Вычитаются числители, а не знаменатели.

Итак, вычитаем. Убедились, что знаменатели одинаковые. Тогда вычитаем числители (2-1)/4, так получаем 1/4. При складывании дробей, вычитаются только числители!

2. Чтобы осуществить вычитание, убедитесь, что знаменатели равны.

Попалась разность дробей, к примеру, 1/2 и 1/3, то домножить придется не одну дробь, а обе, чтобы привести к общему знаменателю. Самый простой способ сделать это: первую дробь умножить на знаменатель второй, а вторую дробь на знаменатель первой, получаем: 3/6 и 2/6. Складываем (3-2)/6 и получаем 1/6.

3. Сокращение дроби производится путем деления числителя и знаменателя на одинаковое число.

Дробь 2/4 можно привести к виду ½. Почему? Что из себя представляет дробь? ½ = 1:2, а если делить 2 на 4, то это тоже самое, что делить 1 на 2. Поэтому дробь 2/4 = 1/2.

4. Если дробь больше единицы, то можно выделить целую часть.

Дана дробь 7/4, получаем, что 7 больше 4, а значит 7/4 больше 1. Как выделить целую часть? (4+3)/4, далее получаем сумму дробей 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Итог: одна целая, три четвертых.

Примеры для устного счёта 4 класс

53+47:2-41х3	56:8х10-16:6
74-66х4+48:8	89-68:7х9+78
94-87х3-15:6	4х7+28:8х9
9х5-39х4+36	72:8х6+27:9
40:5+79-69:3	63:9+25:8х20
85-37:4х5+58	8х9-16:7х6
6х5х3-72:2	100-46:9х7+39
100-73:3х5+47	7х9-39:8х30
93-58:5х3+79	4х9+18:6+87
40х2-56:4х3	6х8+33:9х8
17+15:4+67+25	80-35:9х7+65
7х1+86-79:7	63:7х8-36:9
4х8+17:7+83	100-51:7х9-63
36:6х8+24:9	56:8х6-35:7
2х7+86:20х9	8х7-29:9-3
17+46:7+40-37	72:9+72:80х8
7х8+25:9+91	17+64:9х6-29
6х4+48:8х9	32:8х6+48:9
9х7-27:6х8	6х9-26:7х9
3х9+45:8+71	93-58:7х9+55
100-37:9х7+25	27:3+89-69х2
43+29:9х6+46	36:4х5-28+14
21:3х2+67-39	9х2:3+89-14
7х5-19+74:9	9х3+56-37:2
25:5х20-33+9	24:3х5х2-47
45:5х4+59-17	40:8х4+76-25
8х1+75-26:3	18:3х4+76-66
6х4+49-35:19	6х3+47-29:9
20:4х8-23+41	14:2х5+58-61
9х4-19+46:21	7х3+69-73х2
28:4х5+39-55	7х4+72-56:11
8х3:4+75-24	32:4+67-49х3
35:5+65-58х4	6х3:2+46-37
3х7+69-65:5	56:7х9-43+17
9х6-19+49:4	54:9х6+57-19
20:5х6+56:20	15:5х3+21-17

Как решить проблемы с математикой

Как только у ребёнка появляются проблемы с математикой родители почему-то начинают думать, что причина заключается в плохой предрасположенности к точным наукам. Потому что формулы вроде бы знает, простые примеры решить тоже может, но каждая контрольная и самостоятельная работа превращается в целое испытание для всей семьи. Все сидят в ожидании результатов. Никогда нельзя сказать точно какую оценку получит ребёнок — четвёрку или двойку.

Дети часто получают плохие отметки именно по математике

Также много жалоб по типу: занимаемся все выходные напролёт, учим эту математику, учим, а в итоге всё равно результат прежний. На самом деле, причина такого плохого восприятия — отсутствие адекватных причин заниматься всеми этими цифрами. Большинство родителей сходятся во мнении, что ребёнок просто гуманитарий, главное — литература, история, обществознание, а математика неважна.

Гуманитариям математика не нужна?

Это огромная ошибка, ведь для лучшего восприятия точных наук этому самому «гуманитарию» нужно лишь вдохновение и цель. Отлично будет, если ребёнку объяснить, что математика — это такая же наука, как и любая другая, и она не ограничивается уравнениями и задачами. Это нечто большее. Математика позволяет изменить мышление, воспринимать старые вещи по-новому.

Главная проблема всех гуманитариев, которые имели проблемы с математикой — это логика. Для составления, например, грамотной и структурированной статьи нужно руководствоваться не только правилами русского языка, но и логикой изложения мысли. Все части должны быть связаны между собой, в то же время, должны легко читаться отдельные фрагменты.

Именно логическое мышление в первую очередь развивает математика и воспринимать это нужно, как возможность расширения кругозора и свежего взгляда на старое. Также точные науки помогают дисциплинировать свой ум и комплексно подходить к решению поставленных задач.

Математика — сложный предмет

Самая популярная отговорка заключается в том, что математика — самый сложный предмет из всех. Нет, на самом деле это одна из самых простых и понятных дисциплин. Для сравнения, возьмите наш богатый русский язык.

Мало того, что в нём существует немало правил орфографии, пунктуации, стилистики, так ещё и исключения есть почти в каждом правиле. Вот уж где нужно запоминать «тонну» информации.

В то же время в математике существуют базовые правила, на которых строятся все остальные. То есть, более сложное всегда можно привести к простому. Всё построено на железной логике, и, следуя этим правилам, вы сможете решить задачи, которые казались на первый взгляд непосильными.

Вспомните, как учат всех детей. Для того, чтобы научить их писать, сначала нужно выводить палочки, точки, изгибы. Потом уже буквы, а из букв — простые слова, из слов — предложения.

Начните изучать математику с самых простых уравнений

В математике с самого начала всё объясняется на пальцах или предметах. При этом, за то же самое время, потраченное на русский язык и на математику, прогресс в изучении второй будет больше. Например, считать учатся дети на яблоках, конфетках.

Используйте это и для решения более сложных задач. В пятом классе аналогии привести не составит труда. Это поможет ребёнку ассоциировать вычисления не с сухими числами, а, например, с мандаринами.

Математика 1-10 класс

Математика       1 класс       |      2 классМатематика       3 класс       |      4 классМатематика       5 класс       |      6 классМатематика       7 класс       |      8 класс Математика       9 класс       |      10 класс

Краткая история математики

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
— Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;- Период элементарной математики, начинающийся в VI — V веках до н. э. и завершающийся в конце XVI века («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII века, составляет и до настоящего времени основу „элементарной математики“, преподаваемой в начальной и средней школе»);- Период математики переменных величин, охватывающий XVII — XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;- Период современной математики — математики XIX — XX века , в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Задачи по математике для 5 класса

Задача 1

В зоопарке есть голуби, воробьи, вороны и синицы — всего 20000 птиц. Синиц на 2400 меньше, чем воробьев, ворон в 10 раз меньше, чем воробьев, и ворон на на 400 меньше, чем голубей. Сколько каких птиц живет в зоопарке?

Задача 2

Санкт-Петербург на 556 лет младше Москвы. В 1981 году Санкт- Петербурга был в 3 раза младше Москвы. Каковы годы основания Санкт-Петербурга и Москвы?

Задача 3

У рыболовов поинтересовались: «Сколько рыбы у вас в ведрах» — «В моем ведре 1/2 рыб, которые находятся в корзине у него, и еще 10», — сказал первый. «А у меня в ведре рыбы, сколько у него, и еще 20», — ответил второй. Сколько рыбы у двоих рыбаков вместе?

Задача 4

Три девочки решили к празднику принести 12 пирожков. Первая принесла 5 пирожков, вторая принесла 7 пирожков. Третья девочка принесла 1200 рублей. Как должны разделить деньги подружки?

Задача 5

Через 3 года Андрей станет старше в 2 раза, чем на 3 года раньше. Сколько ему сейчас лет?

Задача 6

На 2-х деревьях сидело 25 птиц. Когда с одного дерева перелетело на другое 5 птиц, а с другого 7 птиц улетели, то на первом дереве осталось в два раза больше птиц, чем на втором. Какое число птиц изначально было на деревьях?

Задача 7

Из муки можно испечь 20 булочек или 25 калачей. Сколько весит все тесто, если на 1 булочку идет на 10 г больше муки, чем на один калач?

Вычитание на числовой прямой

Довольно наглядно свойства вычитания можно увидеть на иллюстрации, изобразив действие на числовой прямой. На ней нужно отложить точки через равный промежуток, например от ноля до десяти, и последовательно их пронумеровать.

Так, для решения примера 3 + 5 — 2 на прямой необходимо найти цифру три. Согласно условию и свойствам уменьшения, из неё можно вычесть двойку. Следовательно, нужно влево от тройки отсчитать два пункта. На иллюстрации этому будет соответствовать точка один. Затем по условию задания нужно прибавить пять единиц. На графике этому будет соответствовать перемещение на пять точек вправо. Итогом всех действий получится точка, подписанная как шесть.

Аналогичным образом можно подсчитать любое вычитание или сложение. Но этот метод хорош для обучения при значениях не больше десяти. Очень наглядно иллюстрация показывает и вычитание ноля. Так как при уменьшении на ноль передвигаться по прямой не нужно, то после вычитания значение уменьшаемого не изменяется.

Задача 1. Пусть имеется отрезок АБ. Нужно определить его длину, если известно, что первой точке (А) соответствует число минус пять, а второй (Б) — девять. На прямой нужно отложить ноль и по обе стороны от него отметить точку, соответствующую минус пяти и девяти. Согласно условию, задачу можно записать как -5 + АБ = 9.

Отсюда следует, что АБ = 9 — (- 5). Сформулировав в уме правило, что минус на минус даёт плюс, равенство верно будет переписать как АБ = 9 + 5 = 14. Проверку можно выполнить, уменьшив результат на пять: АБ — 5 = 9. А можно на графике отсчитать в правую сторону четырнадцать отрезков. Последний из них должен будет совпадать с числом -5.

Задача 2. Велосипедист за день преодолел путь от села Крюково до деревни Морозко. Вычислить, какое он преодолел расстояние за первый час, если за следующее время он проехал 13 км. Для иллюстрации условия задачи нужно на прямой изобразить точку отсчёта, обозначив её за ноль. Затем отметить конечную точку, соответствующую 18 км (в удобном масштабе).

На прямой от конечной точки отсчитать 13. Теперь от тринадцати подсчитать количество отрезков до начальной точки. Математические же вычисления будут выглядеть так: 18 — 13 = 4 км. И в первом, и во втором случае ответ будет аналогичным.

Предыдущая
МатематикаУмножение смешанных дробей — правило и примеры решения
Следующая
МатематикаПроизводная арккосинуса — формулы, правила и примеры вычисления

Выполнение действий

Отличие неправильной дроби от правильной заключается в том, что первая равна или больше единицы, а вторая меньше её. Поэтому правило выполнения арифметических действий одинаковое для этих двух групп. Для того чтобы ребёнок понял, как правильно решать простые и сложные задания объяснение в 5 классе неправильных дробей и действий над ними начинают с повторения правила разложения числа на простые множители.

Выполняется оно за несколько шагов. Вначале ищут минимальную величину, на которую можно разделить исходное без остатка. Далее, находят результат деления и повторяют действие, но уже для полученного числа. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Разложение на простые множители используется при поиске наименьшего знаменателя при сложении или вычитании неправильных дробей с разными делителями. Существует алгоритм, придерживаясь которого можно выполнить любое арифметическое действие над двумя и более дробными выражениями. Он заключается в следующем:

• исследовать числитель и знаменатель на возможность сокращения;
• определить наименьший общий знаменатель (НОЗ) среди делителей;
• найти дополнительные множители;
• выполнить умножение числителей на найденные аргументы;
• в знаменатель записать НОЗ, а в числитель сумму или разность произведений делимых.

Например, 4 / 3 + 9 / 7 = (7 * 4) / 21 + (3 * 9) / 21 = 28 / 21 + 27 / 21 = (28 + 27) / 21 = 55 / 21 = 2 (13 / 21) и 56 / 9 — 6 / 9 = (56 — 6) / 9 = 50 / 9 = 5 (5 / 9).

Неправильные выражения можно не только складывать, но и вычитать. Для того чтобы их перемножить следует отдельно найти произведение делимых и делителей. Затем в числитель записать первый результат, а в знаменатель второй. То есть действие нужно выполнять по формуле: f / n * s / m = (f * s) / (n * m). Выполнить деление также просто. Для этого действия в вычитаемом выражении меняется местами аргументы и выполняется умножение: (f / n) / (s / m) = (f * m) / (n * s).

Возведение в степень и извлечение корня выполняют способом разделения. То есть, делимое от делителя возводится или извлекается отдельно: (s / m) j = sj / mj и √(s / m) = √s / √m. Например, 3 / 2 * 9 / 6 : 7 / 5 * (3 / 2)3

С какого действия начинать решение не принципиально, но следует обратить внимание, что 9 / 6 можно сократить на три. В итоге получится 9 / 6 = 3 / 2

Далее, решение будет выглядеть следующим образом: 3 / 2 * 3 / 2 : 7 / 5 * 3 3 / 23 = (3 * 3) / (2 * 2): 7 / 5 * 27 / 8 = 9 / 4 * 5 / 7 * 27 / 8 = (9 * 5 * 27) / (4* 7 * 8) = 1215 / 224 = 5 (95 / 224).

Предыдущая
МатематикаВозрастание и убывание функции — свойства, характеристики и примеры
Следующая
МатематикаУмножение и деление натуральных чисел — правила и примеры для 5 класса

Чичерина – Дорога (для Маши)

Расчет идеального веса – онлайн калькулятор

Основные законы

Для оптимизации вычислений математики рекомендуют использовать основные свойства сложения и вычитания для 5 класса. Правила распространяются не только на натуральные числа, но дробные, иррациональные и т. д. Грамотное применение законов не только экономит время и тренирует мозг, но и помогает подготовиться к решению более сложных задач, связанных с арифметическими вычислениями.

Правила сложения

У сложения существует несколько законов, основанных на перестановке слагаемых или раскрытии скобок для оптимизации вычислений. Они бывают:

1. Переместительный.
2. Сочетательный.
3. Операция сложения двух одинаковых чисел эквивалентна умножению искомого значения на 2.
4. Прибавления или вычитание нуля не влияет на число.

Формулировка сочетательного закона сложения следующая: чтобы прибавить к сумме двух чисел, сгруппированных в скобках, третью величину, необходимо осуществить операцию сложения первого и третьего, а затем к результату прибавить второе слагаемое. В буквенном виде он записывается в таком виде: (t + v) + s = (t + s) + v. Справедлива будет и такая запись: (t + v) + s = (v + s) + t. Переместительный и сочетательный законы позволяют группировать слагаемые в любой последовательности.

Методы вычитания

Для выполнения операции разности чисел нужно придерживаться определенных свойств вычитания. В 5 классе изучаются все необходимые формулы и утверждения, к которым можно отнести следующие:

1. При вычитании 0 из числа получается искомое число: t — 0 = t.
2. Если из нулевого значения вычесть число, результат будет эквивалентен величине, взятой со знаком «- «: т. е. 0 — t = -t.
3. Разность двух чисел, эквивалентных между собой, соответствует нулевой величине: t — t = 0.
4. Для вычитания суммы двух слагаемых из числа нужно из последнего вычесть первое слагаемое, а затем второе: t — (s + v) = t — s — v.
5. Чтобы вычислить разность суммы двух слагаемых и вычитаемого, нужно отнять из первого слагаемого вычитаемое, а затем к результату прибавить II слагаемое: (t + s) — v = t — v + s.
6. Если одним из слагаемых является разность двух чисел (составное), необходимо к первому значению прибавить уменьшаемое, а затем из результата вычесть вычитаемое: t + (s — v) = t + s — v.

Таким образом, для выполнения арифметических операций сложения и вычитания нужно знать все основные свойства и формулы, позволяющие оптимизировать вычисления.

Математика 5-6 классы. 3. Умножение и деление натуральных чисел

Подробности

Категория: Математика 5-6 классы

https://youtube.com/watch?v=IOL-S34kuiI

 Умножение, Законы умножения

Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4—это означает найти сумму трех слагаемых, каждое из которых есть 4. Таким образом,3 • 4 = 4 + 4 + 4.Числа 3 и 4 называются множителями, а число 3 • 4 — их произведением.Для любого числа а верно равенство 1 • а=а.Вот еще примеры;5 • 3 — 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15,3 • 1 = 1 + 1 + 1 =3,1 • 7 = 7.Для любых натуральных чисел а и b верно равенство а • b=b • а,выражающее переместительный или коммутативный закон умножения:От перестановки множителей произведение не изменяется.Переместительный закон умножения легко проверяется при подсчете двумя способами числа квадратов на рис. 1.2.

Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата—всего 3 • 4 квадрата (рис. 1.3). Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата—всего 4 • 3 квадрата. Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то3 • 4 = 4 • 3.Для любых натуральных чисел а, b и с верно равенство

(a • b) • c=a • (b • c),

выражающее сочетательный или ассоциативный закон умножения:Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение  второго и третьего чисел.Сочетательный закон легко проверяется при подсчете числа кубиков на рис. 1.4. Все кубики можно расположить в два слоя—нижний и верхний—по 3 • 4 кубика в каждом—всего 2 • (3 • 4) кубика (рис. 1.5).

Но можно расположить все кубики в 4 слоя по 2 • 3 кубика в каждом—всего 4 • (2 • 3) = (2 • 3) • 4 кубика.Так как число кубиков в обоих случаях одно и то же, то (2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4).Этим примером мы проиллюстрировали сочетательный закон умножения для натуральных чисел.Отметим, что произведение трех (и более) чисел можно записать и без скобок:(2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4) = 2 • 3 • 4.Изученные нами законы умножения применяются для упрощения вычислений.Пример. Вычислить произведение (5 • 48) • 2.Пользуясь принятым порядком действий, мы должны сначала умножить 5 на 48, а полученный результат умножить на 2.

Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения:(5 • 48) • 2г= (48 • 5) — 2 = 48 • (5 • 2) = 48 • 10 = 480.В произведении нескольких множителей можно переставлять множители и заключать их в скобки любым способом.Пример. 3 • 4 • 5 • 6 = 6 • 5 • 4 • 3,    3 • 4 • 5 • 6 = (3 • 4) • (5 • 6).По определению считают, что для любого неотрицательного числа аа • 0 = 0,0 • а = 0.Тогда равенства а • b=b • а и (а • b) • с=а • (b • с) верны и для неотрицательных чисел.Например, 5 • 0 = 0 • 5, (5 • 3) • 0 = 5 • (3 • 0).

Деление

Пусть а и b—натуральные числа и а больше или равно 6 (а ≥ b). Говорят, что а делится на 6 нацело, если существует натуральное число с, произведение которого на b равно a:

а = с • b.

При этом пишут а : b = с и называют а делимым, b—делителем, с—частным. Таким образом, (a:b) • b = a, т. е. если а разделить на b и результат умножить на b, то получится а.Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:a : 1= a, а : а= 1,так как a • 1=а, 1 • а = а.Например, 15 делится на 1 и 15, а также на 3 и 5, а 19 делится только на 1 и само на себя. Считают также, что 0 : b = 0 для любого натурального числа b, так как 0 • b=0.Но делить на 0 нельзя. Для любого натурального числа а не существует такого числа с, чтобы выполнялось равенство a : 0 = c, так как с • 0 = 0.При делении 0 на 0 можно было бы считать, что 0:0 = с, потому что с • 0=0. Но в этом случае частным могло бы быть любое число с

Поэтому считают, что и 0 нельзя делить на 0.Отметим, что частное неотрицательных чисел а и b ( b ≠ 0)—единственное число.Отметим важное свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число—частное от этого не изменится

Например, 48:24 = 2 и (48-2):(24-2) = 96:48 = 2.Это свойство часто используют для упрощения вычислений 168:42=(168:3): (42:3)=56:14=(56:7): (14:7)=8:2=4Таким образом, верны формулыа:b = (а • n):(b • n), а:b = (а:n):(b:n),

где n натуральное число и во второй формуле а и b делятся на n.Докажем первую из них. Пусть а:b = с; тогда с • b = а но тогда (а • n):(b • n) также равно с, потому что с • (b • п)= (с • b) • n = а • n.    ‘

3адания на тему «Луч, прямая, отрезок»

Отрезком называется часть прямой ограниченная двумя точками, его длинной считается расстояние между крайними точками. Луч — это часть прямой, которая состоит из точки и всех других точек, лежащих по одну сторону от нее.

3адание 1

Начертите отрезок АВ, равный 12 см. Отметьте на нем точки по порядку С и D так, чтобы отрезок АС был равен 4 см, а СD — 6 см. Вычислите, чему равен отрезок DВ?

Ответ: 12 — (4 + 6) = 2 см.

3адание 2

Начертите прямую, произвольно отметьте на ней точку А, которая будет служить началом луча. 3атем начертите вторую прямую с точкой В так, чтобы она пересекала луч А. Место пересечения двух лучей можно обозначить точкой С. Напишите, чему равна длина получившихся отрезков АС и ВС.

3адание 3

Начертите произвольную прямую и отметьте на ней два точки А, В и С так, чтобы длина отрезка АВ была 7 см, а отрезка ВС — 4 см. Какова длина отрезка АС?

Ответ: 7 + 4 = 11 см.

Средний уровень

Задание 1

Запишите числа цифрами:

• 1. Восемьсот семьдесят миллионов девять;
• 2. Два миллиарда четыреста пятьдесят девять миллионов триста шестьдесят восемь тысяч пятьсот семьдесят девять;
• 3. Тридцать миллиардов четыре миллиона двадцать три;
• 4. Восемьсот миллиардов шесть;
• 5. 248 миллиарда 6 миллионов 18 тысяч сто;
• 6. 503 миллиарда 241 тысяча 64.

Решение

1) 87 000 009

2) 2 459 368 579

3) 30 004 000 023

4) 800 000 000 006

5) 248 006 018 100

6) 503 000 241 064

Задание 2

Запишите числа, как сумму разрядных слагаемых:

1) 349

2) 809

3) 2475

4) 3008

Решение

1) 349 = 300 + 40 + 9

2) 809 = 800 + 9

3) 2475 = 2000 + 400 + 70 + 5

4) 3008 = 3000 + 8

Задание 3

Расставьте знаки больше или меньше:

852 618 … 852 681

2 545 033 … 2 545 300

300 300 003 … 300 003 300

Решение

852 618 < 852 681

2 545 033 < 2 545 300

300 300 003 > 300 003 300

Задание 4

Запишите числа в порядке возрастания:
98362, 6395, 1103672, 492031, 10238, 2958, 300271, 300713, 490952, 192, 74.

Решение

74,  192,  2 958,  6 395,  10 238,  98 362,  300 271,  300 713,  490 952,  492 031,  1 103 672.

Запишите натуральные числа, которые меньше 82 и больше 74.

Решение

75,  76,  77,  78,  79,  80,  81.

Задание 6

Какое количество натуральных чисел расположено между числами:

1) 57 и 64;

2) 238 и 261;

3) 167 и 192;

4) 342 и 409;

Решение

1) 6;

2) 21;

3) 24;

4) 66.

Задание 7

Выполните сложение:

27 592 + 593 089 =	59 003 + 12 903 =	129 301 + 739 912 =
60 018 + 224 983 =	30 283 + 45 037 =	884 916 + 294 001 =

Решение

27 592 + 593 089 = 620 681	59 003 + 12 903 = 71 906	129 301 + 739 912 = 869 213
60 018 + 224 983 = 285 001	30 283 + 45 037 = 75 320	884 916 + 294 001 = 1 178 917

Задание 8

Вычислите:

18м 48см + 26м 39см = ;

45т 390 кг + 21т 31кг = .

Решение

18м 48см + 26м 39см = 44м 87 см;

45т 390 кг + 21т 31кг = 66т 421кг.

Задание 9

Выполните вычитание:

49 081 — 19 090 =	18 928 — 18 098 =	397 802 — 65 834 =
72 305 — 50 923 =	25 730 — 21 829	450 038 — 375 340 =

Решение

49 081 — 19 090 = 29 991	18 928 — 18 098 = 830	397 802 — 65 834 = 331 968
72 305 — 50 923 = 21 382	25 730 — 21 829 = 3 901	450 038 — 375 340 = 74 698

Задание 10

Найдите значения выражений:

469 + 1 843 — 1 992 =	4 578 — 2640 + 3 654 =
9 029 — 6 230 — 1 389 =	19 463 + 7 356 + 35 230 =

Решение

469 + 1 843 — 1 992 = 320	4 578 — 2640 + 3 654 = 5 592
9 029 — 6 230 — 1 389 = 1 410	19 463 + 7 356 + 35 230 = 62 049

Задание 11

Вычислите:

6 036 — (1 343 + 2 876) =	9 803 — (6 357 + 1 996) =
4 378 — (2 195 — 1 880) =	6 306 — (4 381 — 2 270) =

Решение

6 036 — (1 343 + 2 876) = 1 817	9 803 — (6 357 + 1 996) = 1 450
4 378 — (2 195 — 1 880) = 4 063	6 306 — (4 381 — 2 270) = 4 195

Задание 12

В швейную мастерскую привезли 150 м ткани. В первую неделю было израсходовано 46 метров, а во вторую 38 метров. Сколько метров ткани осталось в мастерской?

Решение

• 1) 46 + 38 = 84 (м) ткани израсходовали за 2 недели;
• 2) 150 – 84 = 66 (м) ткани.
• Ответ: в мастерской осталось 66 метров ткани.

Задание 13

Сравните не вычисляя:

1 487 + 372 … 183 + 1 394	48 391 + (3 409 + 2 809) … (2 893 + 1 908) + 48 391
8 934 + 490 … 822 + 8 943	17 429 + (6 830 + 3 402) … (7 620 + 3 420) + 17 429

Решение

1 487 + 372 > 183 + 1 394	48 391 + (3 409 + 2 809) > (2 893 + 1 908) + 48 391
8 934 + 490 < 822 + 8 943	17 429 + (6 830 + 3 402) < (7 620 + 3 420) + 17 429

Задание 14

Решите задачу:
В овощной магазин привезли картофель и лук. Картофеля привезли 185 кг, а лука на 48 кг меньше. Сколько всего картофеля и лука привезли в магазин?

Решение

• 1) 185 — 48 = 137 (кг) лука привезли в магазин;
• 2) 185 + 137 = 322 (кг).
• Ответ: всего привезли 322 кг лука и картофеля?

Умножение и деление разных видов дробей

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби это дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Навык умножения и деления обыкновенных дробей является основой деления и умножения любой дроби вообще.

Для умножения двух дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Результат такого умножения и будет являться конечным результатом умножения дробей.

Делить дроби сложнее, но ненамного. Для деления переворачивают делитель. То есть числитель дроби меняется на знаменатель, а знаменатель на числитель. Делимое умножается на перевернутый делитель. Результат такого умножения и будет являться частным.

Смешанные дроби

Смешанные дроби имеют две части: целую и дробную. Для того, чтобы умножить или разделить смешанные дроби их преобразуют в неправильные. Для этого целую часть умножают на знаменатель, а получившееся число прибавляют к числителю.

С получившимися числами действуют так же, как с обыкновенными дробями.

Неправильные дроби

Неправильные дроби отличаются от обыкновенных только тем, что числитель больше знаменателя. Умножают и делят неправильные дроби по тем же правилам, что обыкновенные.

Неправильные дроби могут быть в примере, но в результате желательно преобразовать в смешанное число или десятичную дробь. Непреобразованную дробь в ответе могут счесть ошибкой.

Десятичные дроби

Десятичные дроби умножаются и делятся по другим правилам. Десятичной дробью называют дробь, записанную в одну строку с помощью разделяющей запятой. До запятой идет целая часть, после запятой – дробная.

Для деления десятичных чисел их преобразуют в целые числа. Пользуются следующим алгоритмом:

• Нужно умножить делимое и делитель на степень числа 10 так, чтобы делимое и делитель стали целыми числами. Число, на которое домножают дроби запоминают.
• Выполняется операция деления или умножения. Порядок действий для обоих знаменателей одинаковый.
• Результат делится на число, которое мы запомнили в самом начале.

Что мы узнали?

Мы повторили понятие дроби. Выделили все виды дробей. Привели правила умножения и деления дробей. Отдельно обговорили желательную форму записи результата.

Тест по теме

1. Вопрос 1 из 10

   Дробь ­– это?

   • Завершенная операция деления
   • Незавершенная операция деления
   • Незавершенная операция умножения
   • Нет верного ответа

Начать тест(новая вкладка)